Пусть AB равно x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна т. е. Сумма углов в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не равна 180°, от­ку­да сле­ду­ет, что сумма углов, дан­ная в усло­вии  — есть сумма углов при ос­но­ва­нии AD, ко­то­рые равны.

Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH угол BAH равен 30°, от­ку­да сле­ду­ет, что По­это­му из пло­ща­ди тра­пе­ции най­дем x:

Таким об­ра­зом, пе­ри­метр тра­пе­ции равен

Ответ: 34.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту, для опи­сан­ной тра­пе­ции вы­со­та равна диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти, то есть

По свой­ству опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна, то есть сле­до­ва­тель­но, имеем:

Ответ: 46.

По усло­вию по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

Тогда длина сред­ней линии:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма найдём

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством и найдём за­ме­тив, что угол ABC тупой:

Те­перь найдём боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.